المتسلسلة العددية: التعاريف، الخصائص، علامات التقارب، الأمثلة، الحلول. سلاسل عددية ذات تعقيد متزايد.علامات كافية لتقارب سلسلة موجبة.

في اختبار كومر، لنأخذ المتسلسلة التوافقية على أنها متسلسلة متباعدة (12.1)

في هذه الحالة لدينا

ويمكن صياغة اختبار التقارب الناتج على النحو التالي.

نظرية (اختبار تقارب راب). صف

يتقارب إذا كان هناك مثل هذا

هذه السلسلة تتباعد إذا بدأت من البعض

الشكل المحدد لاختبار راب هو كما يلي:

ثم تتقارب المتسلسلة (12.9)، وإذا

ثم يتباعد.

يعد اختبار تقارب راب أكثر حساسية بكثير من اختبار تقارب دالمبرت المماثل. في الواقع، حيث أن اختبار دالمبرت، في شكله المحدد، يحدد تقارب المتسلسلات (12.9):

هناك راب يعطي إشارة.

وبالمثل، بالنسبة للمتسلسلة التي يُشار إلى تباعدها بواسطة اختبار دالمبيرت، وفقًا لاختبار راب، سيكون

1. خذ بعين الاعتبار السلسلة

هنا كذلك لكل x محدد

وتطبيق اختبار دالمبيرت غير فعال هنا. راب يعطي الإشارة

ومن هذا يتبين أنه متى تتقارب المتسلسلة قيد النظر، ومتى تتباعد. ولنلاحظ بشكل عابر أنه عندما تتحول المتسلسلة (12.10) إلى متسلسلة توافقية، والتي كما هو معروف، تتباعد. إن حقيقة أن معيار راب في شكله الأصلي (غير المحدود) يحدد انحراف المتسلسلة التوافقية لا يمكن اعتباره نتيجة مستقلة، حيث أن العبارة نفسها التي تشكل خاصية رابه تعتمد تحديدًا على هذا التباعد.

دعونا نؤلف نسبة المصطلحات المجاورة لهذه السلسلة:

سنقوم بتوسيع اللوغاريتمات والجذور التربيعية على اليمين وفقًا لصيغة تايلور في القوى. في هذا والأمثلة التالية سوف نستخدم اختبارات الحد للتقارب. وهذا يعني أنه سيتعين علينا زيادة قيم المتغير بلا حدود، وبالتالي فإن كل درجة لاحقة ستكون مع زيادة متناهية الصغر مرتبة أعلى مقارنة بالدرجات السابقة. من خلال التخلص من جميع السلطات، بدءًا من بعضها، سنرتكب خطأً سيكون صغيرًا ليس فقط على الإطلاق، ولكن أيضًا مقارنة بآخر الشروط المحتفظ بها. وهذا الخطأ النسبي يقل كلما كبرت القيمة ويختفي في الحد مع زيادة غير محدودة. اعتمادًا على دقة الاستدلال المطلوبة، سنحتفظ بعدد أو آخر من المصطلحات في صيغ تايلور للوظائف المقابلة. علاوة على ذلك، سوف نتواصل من خلال تعبيرات الإشارة التي تختلف عن بعضها البعض بكميات قليلة مقارنة بالدقة التي تعطيها المصطلحات المحفوظة والمكتوبة.

أولاً، نقتصر على مصطلحات اللوغاريتمات والجذور التي تحتوي على قوى ليست أعلى من الأولى. سيكون لدينا

وبالتالي فإن اختبار تقارب دالمبرت لا يمكن أن يعطينا أي إجابة هنا.

النظر في سلسلة أرقام إيجابية.
إذا كان هناك حد، ثم:
أ) عندما الصف يتباعد. علاوة على ذلك، يمكن أن تكون القيمة الناتجة صفرًا أو سالبة
ب) عندما الصف يتقارب. وعلى وجه الخصوص، تتقارب السلسلة عند .
ج) متى علامة رابي لا تعطي إجابة.

نرسم حدًا ونبسط الكسر بعناية وبعناية:

نعم، الصورة، بعبارة ملطفة، غير سارة، ولكنني لم أعد مندهشا. فقد تم كسر هذه الحدود بمساعدة قواعد لوبيتال، والفكرة الأولى، كما اتضح لاحقا، كانت صحيحة. لكن في البداية أمضيت حوالي ساعة في التواء وتحويل الحد باستخدام الطرق "المعتادة"، لكن عدم اليقين لم يرغب في التخلص منه. والمشي في دوائر، كما تشير التجربة، هو علامة نموذجية على أنه تم اختيار الحل الخاطئ.

كان علي أن ألجأ إلى الحكمة الشعبية الروسية: "إذا فشل كل شيء آخر، اقرأ التعليمات". وعندما فتحت المجلد الثاني من فيشتنهولتز، أسعدني كثيرًا اكتشاف دراسة لسلسلة متطابقة. ثم اتبع الحل المثال:

بسبب ال تسلسل رقميتعتبر حالة خاصة للدالة، ففي الحد سنقوم بالاستبدال: . اذا ثم.

نتيجة ل:

الآن لدي حد الوظيفةوقابلة للتطبيق قاعدة لوبيتال. في عملية التمايز سيتعين علينا أن نأخذ مشتق من وظيفة القوة الأسية، وهو مناسب من الناحية الفنية للعثور عليه بشكل منفصل عن الحل الرئيسي:

كن صبورًا، لأنك تسلقت هنا بالفعل - حذر بارمالي في بداية المقال =) =)

أستخدم قاعدة L'Hopital مرتين:

يتباعد.

استغرق الأمر الكثير من الوقت، لكن بوابتي وقفت!

من أجل المتعة فقط، قمت بحساب 142 مصطلحًا من المتسلسلة في برنامج Excel (لم يكن لدي ما يكفي من القدرة الحاسوبية للمزيد) ويبدو (ولكن ليس مضمونًا من الناحية النظرية تمامًا!) أنه حتى اختبار التقارب الضروري لم يتم استيفاءه لهذه السلسلة. تستطيع أن ترى النتيجة الملحمية هنا >>>بعد مثل هذه المغامرات، لم أستطع مقاومة إغراء اختبار الحد الأقصى بنفس طريقة الهواة.

استخدميه لصحتك، الحل قانوني!

وهذا هو طفلك الفيل:

مثال 20

التحقيق في تقارب السلسلة

إذا ألهمتك أفكار هذا الدرس جيدًا، فيمكنك التعامل مع هذا المثال! وهو أسهل بكثير من السابق ;-)

انتهت رحلتنا بملاحظة مشرقة ونأمل أن تترك تجربة لا تُنسى للجميع. للراغبين في مواصلة الوليمة يمكنهم التوجه إلى الصفحة مشاكل جاهزة في الرياضيات العلياوتنزيل أرشيف بمهام إضافية حول الموضوع.

أتمنى لك النجاح!

الحلول والأجوبة:

مثال 2: حل: قارن هذه المتسلسلة بالمتسلسلة المتقاربة. بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية، تكون المتراجحة صحيحة، مما يعني، بالمقارنة، المتسلسلة قيد الدراسة يتقاربجنبا إلى جنب مع بجانب .

مثال 4: حل: قارن هذه المتسلسلة بالمتسلسلة التوافقية المتباعدة. نحن نستخدم معيار المقارنة الحدية:

(حاصل ضرب متناهية الصغر ومحدود هو متوالية متناهية الصغر)
يتباعدجنبا إلى جنب مع السلسلة التوافقية.

مثال 5: حل: لنخرج العامل الثابت عضو عاموفيما وراء المجموع، لا يعتمد عليه تقارب المتسلسلة أو تباعدها:

دعونا نقارن هذه المتسلسلة مع متوالية هندسية متقاربة ومتناقصة بشكل لا نهائي. التسلسل محدود: لذلك فإن عدم المساواة لجميع الأعداد الطبيعية. وبالتالي، على أساس المقارنة، السلسلة قيد الدراسة يتقاربجنبا إلى جنب مع بجانب .

مثال 8: حل: قارن هذه المتسلسلة مع متسلسلة متباعدة (العامل الثابت للحد المشترك لا يؤثر على تقارب المتسلسلة أو تباعدها). نستخدم المعيار الحدي للمقارنة والحد الملحوظ:

ويتم الحصول على عدد منتهٍ يختلف عن الصفر، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتباعدجنبا إلى جنب مع بجانب .

مثال 13: حل

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.

مثال 14: حل: نستخدم علامة دالمبيرت:

دعونا نستبدل المتناهية الصغر بأخرى مكافئة: لـ .
لنستخدم الحد الرائع الثاني : .

ولذلك فإن السلسلة قيد الدراسة يتباعد.
الضرب والقسمة على التعبير المرافق:

ويتم الحصول على عدد منتهٍ يختلف عن الصفر، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتباعدجنبا إلى جنب مع بجانب .

مثال 20: حل: دعونا نتحقق من الشرط اللازم لتقارب المتسلسلة. في سياق العمليات الحسابية، وباستخدام تقنية قياسية، ننظم الحد الملحوظ الثاني:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتباعد.

الرياضيات العليالطلاب المراسلة والمزيد >>>

(اذهب إلى الصفحة الرئيسية)

باستخدام الطرق القياسية، ولكننا وصلنا إلى طريق مسدود مع مثال آخر.

ما هي الصعوبة وأين يمكن أن يكون هناك عقبة؟ فلنضع الحبل الصابوني جانبًا، ونحلل الأسباب بهدوء ونتعرف على الحلول العملية.

الأول والأهم: في الغالبية العظمى من الحالات، لدراسة تقارب السلسلة، من الضروري استخدام بعض الطرق المألوفة، ولكن المصطلح العام للسلسلة مليء بمثل هذه الحشوات الصعبة بحيث ليس من الواضح على الإطلاق ما يجب فعله بها . وتدور في دائرة: العلامة الأولى لا تعمل، والثانية لا تعمل، والطريقة الثالثة والرابعة والخامسة لا تعمل، ثم يتم طرح المسودات جانبًا ويبدأ كل شيء من جديد. ويرجع ذلك عادةً إلى نقص الخبرة أو وجود ثغرات في مجالات أخرى من التحليل الرياضي. على وجه الخصوص، إذا كان قيد التشغيل حدود التسلسلوتفكيكها سطحيا حدود الوظيفة، فسيكون الأمر صعبًا.

بمعنى آخر، لا يرى الشخص ببساطة طريقة اتخاذ القرار اللازمة بسبب نقص المعرفة أو الخبرة.

في بعض الأحيان يقع اللوم على "الكسوف" أيضًا، على سبيل المثال، عندما لا يتم استيفاء المعيار الضروري لتقارب السلسلة، ولكن بسبب الجهل أو عدم الانتباه أو الإهمال، فإن هذا يسقط عن الأنظار. ويبدو الأمر كما في تلك القصة حيث قام أستاذ الرياضيات بحل مشكلة للأطفال باستخدام تسلسلات متكررة جامحة وسلاسل أرقام =)

في أفضل التقاليدأمثلة حية فورية: الصفوف وأقاربهم - يختلفون، لأنه ثبت نظريا حدود التسلسل. على الأرجح، في الفصل الدراسي الأول، سوف تهتز من روحك لإثبات 1-2-3 صفحات، ولكن الآن يكفي لإظهار فشل الشرط الضروري لتقارب السلسلة، نقلا عن حقائق معروفة. مشهور؟ إذا كان الطالب لا يعرف أن الجذر النوني هو شيء قوي للغاية، فلنقل، السلسلة سوف يضعه في طريق مسدود. مع أن الحل مثل مرتين اثنين: ، أي. لأسباب واضحة، كلا السلسلتين تتباعدان. تعليق متواضع "تم إثبات هذه الحدود من الناحية النظرية" (أو حتى غيابها على الإطلاق) يكفي للاختبار، بعد كل شيء، الحسابات ثقيلة جدًا وهي بالتأكيد لا تنتمي إلى قسم سلسلة الأرقام.

وبعد دراسة الأمثلة التالية لن تتفاجأ إلا بإيجاز وشفافية الكثير من الحلول:

مثال 1

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: أولا وقبل كل شيء، نتحقق من التنفيذ المعيار الضروري للتقارب. وهذا ليس إجراءً شكلياً، ولكنه فرصة ممتازة للتعامل مع المثال "بقليل من سفك الدماء".

يشير "فحص المشهد" إلى وجود متسلسلة متباعدة (حالة المتسلسلة التوافقية المعممة)، لكن السؤال الذي يطرح نفسه مرة أخرى، هو كيف نأخذ في الاعتبار اللوغاريتم في البسط؟

أمثلة تقريبية للمهام في نهاية الدرس.

ليس من غير المألوف أن يتعين عليك تنفيذ تفكير من خطوتين (أو حتى ثلاث خطوات):

مثال 6

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: أولاً، دعونا نتعامل بعناية مع رطانة البسط. التسلسل - محدود: . ثم:

دعونا نقارن سلسلتنا مع السلسلة. بسبب المتباينة المزدوجة التي تم الحصول عليها للتو، بالنسبة لجميع "en" سيكون ما يلي صحيحًا:

الآن قارن المتسلسلة مع المتسلسلة التوافقية المتباعدة.

مقام الكسر أقلمقام الكسر، لذلك الكسر نفسه – أكثرالكسور (اكتب المصطلحات القليلة الأولى إذا لم تكن واضحة). وبالتالي، بالنسبة لأي "en":

وهذا يعني أنه على أساس المقارنة، هذه السلسلة يتباعدجنبا إلى جنب مع السلسلة التوافقية.

إذا قمنا بتعديل القاسم قليلاً: ، فإن الجزء الأول من المنطق سيكون مشابهًا: . لكن لإثبات تباعد المتسلسلة، لا يمكننا سوى تطبيق الاختبار الحدي للمقارنة، لأن المتباينة خاطئة.

الوضع مع المتسلسلات المتقاربة "معكوس"، أي، على سبيل المثال، بالنسبة للسلسلة، يمكنك استخدام كلا معياري المقارنة (المتباينة صحيحة)، ولكن بالنسبة للسلسلة فقط المعيار المحدد (المتباينة خاطئة).

نواصل رحلات السفاري لدينا الحياة البريةحيث يلوح في الأفق قطيع من الظباء الرشيقة والمورقة:

مثال 7

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: تم استيفاء المعيار الضروري للتقارب، ونسأل أنفسنا مرة أخرى السؤال الكلاسيكي: ماذا نفعل؟ أمامنا شيء يذكرنا بسلسلة متقاربة، ومع ذلك، لا توجد قاعدة واضحة هنا - مثل هذه الارتباطات غالبا ما تكون خادعة.

في كثير من الأحيان، ولكن ليس هذه المرة. باستخدام المعيار الحدي للمقارنةدعونا نقارن المتسلسلة التي لدينا بمتسلسلة متقاربة. عند حساب الحد نستخدمه حد رائع ، بينما متناهي الصغرمواقف:

يتقاربجنبا إلى جنب مع بجانب .

بدلاً من استخدام التقنية الاصطناعية القياسية للضرب والقسمة على "ثلاثة"، كان من الممكن في البداية إجراء مقارنة مع متسلسلة متقاربة.
لكن من المستحسن هنا إبداء تحفظ بأن العامل الثابت للحد العام لا يؤثر على تقارب المتسلسلة. وقد تم تصميم حل المثال التالي بهذا الأسلوب تمامًا:

مثال 8

التحقيق في تقارب السلسلة

عينة في نهاية الدرس.

مثال 9

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: في الأمثلة السابقة استخدمنا حدود جيب الجيب، ولكن الآن لم تعد هذه الخاصية صالحة للاستخدام. مقام الكسر الأعلى ترتيب النمو، من البسط، وبالتالي، عند حجة الجيب والمصطلح المشترك بأكمله متناهي الصغر. إن الشرط الضروري للتقارب، كما تفهمون، قد تحقق، وهو ما لا يسمح لنا بالتهرب من عملنا.

لنقم بالاستطلاع: وفقًا لـ معادلة ملحوظة ، تخلص عقليًا من الجيب واحصل على السلسلة. حسنًا ، فلانًا وفلانًا ...

دعونا نتخذ القرار:

دعونا نقارن السلسلة قيد الدراسة مع سلسلة متباعدة. نحن نستخدم معيار المقارنة الحدية:

دعونا نستبدل المتناهية الصغر بما يعادلها: في .

ويتم الحصول على عدد منتهٍ يختلف عن الصفر، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتباعدجنبا إلى جنب مع السلسلة التوافقية.

مثال 10

التحقيق في تقارب السلسلة

هذا مثال لك لحله بنفسك.

للتخطيط لمزيد من الإجراءات في مثل هذه الأمثلة، فإن التخلص عقليًا من الجيب وقوس الجيب والظل والظل القطبي يساعد كثيرًا. لكن تذكر أن هذه الفرصة موجودة فقط إذا متناهي الصغرحجة، منذ وقت ليس ببعيد شاهدت سلسلة استفزازية:

مثال 11

التحقيق في تقارب السلسلة
.

حل: لا فائدة من استخدام حدود قوس الظل هنا، ولا يعمل التكافؤ أيضًا. الحل بسيط بشكل مدهش:


المسلسل قيد الدراسة يتباعدلعدم توفر الشرط اللازم لتقارب المتسلسلة.

السبب الثاني"مشكلة المهمة" هي أن العضو المشترك متطور للغاية، مما يسبب صعوبات ذات طبيعة فنية. بشكل تقريبي، إذا كانت السلسلة التي تمت مناقشتها أعلاه تنتمي إلى فئة "من يعرف"، فإن هذه السلسلة تقع ضمن فئة "من يعرف". في الواقع، هذا ما يسمى التعقيد بالمعنى "المعتاد". لا يستطيع الجميع حل العديد من العوامل والدرجات والجذور وسكان السافانا الآخرين بشكل صحيح. أكبر المشاكل هي بالطبع العوامل:

مثال 12

التحقيق في تقارب السلسلة

كيفية رفع مضروب إلى السلطة؟ بسهولة. وفقا لقاعدة العمليات مع القوى، من الضروري رفع كل عامل من عوامل المنتج إلى قوة:

وبطبيعة الحال، الاهتمام والانتباه مرة أخرى؛ علامة دالمبرت نفسها تعمل بشكل تقليدي:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.

أذكرك بأسلوب عقلاني للتخلص من عدم اليقين: عندما يكون الأمر واضحًا ترتيب النموالبسط والمقام - ليست هناك حاجة للمعاناة وفتح الأقواس.

مثال 13

التحقيق في تقارب السلسلة

الوحش نادر جدًا، لكنه موجود، وسيكون من الظلم تجاهله بعدسة الكاميرا.

ما هو مضروب مع علامة تعجب مزدوجة؟ "يختتم" المضروب حاصل ضرب الأعداد الزوجية الموجبة:

وبالمثل، فإن المضروب "ينتهي" بمنتج الأعداد الفردية الموجبة:

تحليل ما هو الفرق من و

مثال 14

التحقيق في تقارب السلسلة

وفي هذه المهمة، حاول ألا تخلط بين الدرجات، معادلات ملحوظةو حدود رائعة.

نماذج من الحلول والإجابات في نهاية الدرس.

لكن الطالب لا يتغذى على النمور فحسب - بل تتعقب الفهود الماكرة أيضًا فرائسها:

مثال 15

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: المعيار الضروري للتقارب، والمعيار الحدي، واختبار دالمبيرت وكوشي يختفيان على الفور تقريبًا. لكن أسوأ ما في الأمر هو أن علامة عدم المساواة التي ساعدتنا مرارا وتكرارا أصبحت عاجزة. في الواقع، المقارنة مع سلسلة متباعدة أمر مستحيل، لأن عدم المساواة غير صحيح - مضاعف اللوغاريتم يزيد فقط من المقام، مما يقلل من الكسر نفسه نسبة إلى الكسر. وسؤال عالمي آخر: لماذا نحن واثقون في البداية من أن سلسلتنا يجب بالضرورة أن تتباعد ويجب مقارنتها ببعض السلاسل المتباينة؟ ماذا لو حصل على طول على الإطلاق؟

ميزة متكاملة؟ تكامل غير لائق يثير مزاج حزين. الآن لو كان بيننا خلاف ... ثم نعم. قف! هكذا تولد الأفكار. نقوم بصياغة الحل في خطوتين:

1) أولاً نفحص تقارب المتسلسلة . نحن نستخدم ميزة متكاملة:

متكامل مستمرعلى

وهكذا السلسلة يتباعد مع التكامل غير الصحيح المقابل.

2) دعونا نقارن المتسلسلة بالمتسلسلة المتباعدة . نحن نستخدم معيار المقارنة الحدية:

ويتم الحصول على عدد منتهٍ يختلف عن الصفر، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتباعدجنبا إلى جنب مع عدد .

وليس هناك أي شيء غير عادي أو إبداعي في مثل هذا القرار - هكذا ينبغي اتخاذ القرار!

أقترح وضع الإجراء التالي المكون من خطوتين بنفسك:

مثال 16

التحقيق في تقارب السلسلة

يرى الطالب الذي يتمتع ببعض الخبرة في معظم الحالات على الفور ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد، ولكن يحدث أن يقوم المفترس بتمويه نفسه بذكاء في الأدغال:

مثال 17

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: للوهلة الأولى، ليس من الواضح على الإطلاق كيف تتصرف هذه السلسلة. وإذا كان هناك ضباب أمامنا، فمن المنطقي أن نبدأ بفحص تقريبي للحالة اللازمة لتقارب السلسلة. من أجل القضاء على عدم اليقين، نستخدم غير قابل للغرق طريقة الضرب والقسمة بصيغتها المترافقة:

لم تنجح علامة التقارب الضرورية، لكنها سلطت الضوء على رفيقنا تامبوف. ونتيجة للتحولات التي تم إجراؤها، تم الحصول على سلسلة مكافئة والتي بدورها تشبه بقوة سلسلة متقاربة.

نكتب الحل النهائي:

دعونا نقارن هذه المتسلسلة بمتسلسلة متقاربة. نحن نستخدم معيار المقارنة الحدية:

الضرب والقسمة على التعبير المرافق:

ويتم الحصول على عدد منتهٍ يختلف عن الصفر، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتقاربجنبا إلى جنب مع بجانب .

ربما تساءل البعض، من أين أتت الذئاب في رحلات السفاري الإفريقية لدينا؟ لا أعرف. ربما أحضروه. مظهر الكأس التالي لك للحصول عليه:

مثال 18

التحقيق في تقارب السلسلة

نموذج الحل في نهاية الدرس

وأخيرًا، هناك فكرة أخرى تصيب العديد من الطلاب باليأس: ألا يجب أن نستخدم اختبارًا نادرًا لتقارب السلسلة؟؟ اختبار راب، اختبار هابيل، اختبار غاوس، اختبار ديريشليت وغيرها من الحيوانات غير المعروفة. الفكرة تعمل، ولكن في الأمثلة الحقيقية يتم تنفيذها نادرا جدا. شخصيا، في كل سنوات الممارسة، لم ألجأ إلا إلى ذلك علامة رابي، عندما لم يساعد أي شيء من الترسانة القياسية حقًا. سأعيد إنتاج مسار سعيي الشديد بالكامل:

مثال 19

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: بلا شك علامة دالمبرت. أثناء العمليات الحسابية، أستخدم خصائص الدرجات بنشاط، وكذلك الحد الثاني الرائع:

الكثير بالنسبة لك. لم تقدم علامة D'Alembert إجابة، على الرغم من أن لا شيء ينطبق على مثل هذه النتيجة.

بعد البحث في الكتاب المرجعي، وجدت حدًا غير معروف ومثبتًا نظريًا وقمت بتطبيق اختبار كوشي الجذري الأقوى:

وهنا اثنان بالنسبة لك. والأهم من ذلك، أنه من غير الواضح تمامًا ما إذا كانت السلسلة متقاربة أم متباعدة (وهو موقف نادر جدًا بالنسبة لي). علامة ضرورية للمقارنة؟ بدون الكثير من الأمل - حتى لو تمكنت من معرفة ترتيب نمو البسط والمقام بشكل لا يمكن تصوره، فإن هذا لا يضمن المكافأة بعد.

إنها عضو كامل، ولكن أسوأ شيء هو أن الخلاف يحتاج إلى حل. بحاجة ل. بعد كل شيء، ستكون هذه هي المرة الأولى التي أستسلم فيها. ثم تذكرت أنه يبدو أن هناك بعض العلامات الأخرى الأقوى. لم يعد أمامي ذئب ولا نمر ولا نمر. لقد كان فيلًا ضخمًا يلوح بخرطومه الكبير. اضطررت لالتقاط قاذفة قنابل يدوية:

علامة رابي

النظر في سلسلة أرقام إيجابية.
إذا كان هناك حد ، الذي - التي:
أ) عندما الصف يتباعد. علاوة على ذلك، يمكن أن تكون القيمة الناتجة صفرًا أو سالبة
ب) عندما الصف يتقارب. وعلى وجه الخصوص، تتقارب السلسلة عند .
ج) متى علامة رابي لا تعطي إجابة.

نرسم حدًا ونبسط الكسر بعناية وبعناية:


نعم، الصورة، بعبارة ملطفة، غير سارة، ولكنني لم أعد مندهشا. فقد تم كسر هذه الحدود بمساعدة قواعد لوبيتال، والفكرة الأولى، كما اتضح لاحقا، كانت صحيحة. لكن في البداية قمت بتحريف الحد وتحوله لمدة ساعة تقريبًا باستخدام الطرق "المعتادة"، لكن عدم اليقين لم يرغب في التخلص منه. والمشي في دوائر، كما تشير التجربة، هو علامة نموذجية على أنه تم اختيار الحل الخاطئ.

كان علي أن ألجأ إلى الحكمة الشعبية الروسية: "إذا فشل كل شيء آخر، اقرأ التعليمات". وعندما فتحت المجلد الثاني من فيشتنهولتز، أسعدني كثيرًا اكتشاف دراسة لسلسلة متطابقة. ثم اتبع الحل المثال.

6. علامة ربيع

النظرية 6. إذا كان هناك حد:

ثم: 1) عندما تتقارب المتسلسلة (أ)، 2) عندما تتباعد المتسلسلة.

دليل. ثبت بيان مساعد:

البيان 1. (12)

دليل. خذ بعين الاعتبار التعبير:

أخذنا لوغاريتمات طرفي المساواة:

عاد إلى الحد:

من المساواة (11)، بناءً على تعريف حد التسلسل العددي، يترتب على ذلك أنه بالنسبة لأي صغير بشكل تعسفي يوجد مثل عدم المساواة:

1) دع إذن. تم تحديده إذن، بدءًا من الرقم، ويترتب على عدم المساواة (13) أن عدم المساواة التالية يحمل:

خذ أي رقم. ووفقاً لـ (12)، بالنسبة للكميات الكبيرة بدرجة كافية يكون ما يلي صحيحاً:

ومن هنا وبحسب (14) فيأتي:

على اليمين توجد نسبة الحدين المتتاليين من متسلسلة ديريشليت عند؛ وبعد تطبيق النظرية الرابعة يصبح تقارب المتسلسلة (A) واضحا.

2) لنفترض إذن، كما في النقطة (1)، أن المتباينة التالية تنبع من (13):

ومن هنا وجدنا على الفور:

بعد تطبيق النظرية 4 على المتسلسلة (A) ومتسلسلة ديريشليت، يصبح تباعد المتسلسلة (A) مرئيًا.

الملاحظة 5. اختبار راب أقوى بكثير من اختبار دالمبرت

الملاحظة 6. اختبار راب لا يجيب على السؤال المطروح.

11) استكشف السلسلة باستخدام علامتي D’Alembert وRaabe:

اختبار دالمبرت لا يجيب على مسألة تقارب سلسلة معينة. تم فحص السلسلة باستخدام اختبار راب:

وكانت النتيجة عدم اليقين النوعي، لذلك طبقنا قاعدة لوبيتال-بيرنولي الأولى:

يتباعد راد عند، ويتقارب عند، لكن اختبار راب لا يجيب على سؤال التقارب.

12) اكتشف السلسلة باستخدام اختبار راب:

والنتيجة هي نوع عدم اليقين، ولكن قبل تطبيق قاعدة L'Hopital-Bernoulli الأولى، تم العثور على مشتق التعبير، ولهذا يتم لوغاريتمه والبحث عن مشتق اللوغاريتم:

الآن يمكنك العثور على مشتق التعبير:

العودة إلى الحد. تنطبق قاعدة لوبيتال-بيرنولي الأولى:

يعتبر التعبير. بعد تطبيق قاعدة L'Hopital-Bernoulli الأولى عليها:

إنه يتبع هذا:

استبدل هذه المساواة في التعبير:

ومن هنا، وبحسب معيار رابى يترتب على ذلك أن هذه المتسلسلة تتباعد عند وتتقارب عند، لكن معيار رابى لا يجيب على سؤال تقارب المتسلسلة.

فهم إضافي لتعدد استخدامات سلسلة الأرقام

خذ علامة كومر في فضاء المتسلسلة المختلفة والمتسلسلة التوافقية (3.1). من هو الشخص الذي آسف؟ يمكن صياغة أوتريمانا علامة الاستحالة بهذه الطريقة. نظرية (علامة رابي). مسلسل اهبط لو لقيت حاجة زي دي...

سلسلة بالتناوب

نظرية (اختبار لايبنتز). تتقارب المتسلسلة المتناوبة إذا: تتناقص تسلسل القيم المطلقة لحدود المتسلسلة بشكل رتيب، أي: ; يميل المصطلح العام للسلسلة إلى الصفر:. في هذه الحالة، مجموع S من السلسلة يفي بالمتباينات. ملحوظات...

النظرية 1 (اختبار دالمبرت). دعونا نعطي سلسلة حيث كل شيء > 0. إذا كان هناك حد، عند 0<1 ряд сходится, а при >الصف 1 يتقارب.

سلسلة بالتناوب والتناوب

النظرية 2 (اختبار كوشي). دع سلسلة تعطى، . (1) إذا كان هناك نهاية منتهية، فإن 1) المتسلسلة متقاربة، 2) المتسلسلة متباعدة.

سلسلة بالتناوب والتناوب

النظرية 3 (اختبار التكامل للتقارب). لتكن الدالة f(x) محددة ومستمرة وموجبة وغير متزايدة على الشعاع. ثم: 1) تتقارب سلسلة الأرقام ...

سلسلة بالتناوب والتناوب

تعريف. سلسلة الأرقام a1 - a2 + a3 - ... + (- 1) n - 1an + ...، حيث تكون جميع الأرقام an موجبة، تسمى بالتناوب. مثال. السلسلة تتناوب، لكن السلسلة لا تتناوب..

تكامل المعادلات التفاضلية باستخدام متسلسلة القوى

في التطبيقات الرياضية، وكذلك في حل بعض المسائل في الاقتصاد والإحصاء وغيرها من المجالات، يتم أخذ المجاميع ذات عدد لا نهائي من المصطلحات في الاعتبار. وسنقدم هنا تعريفاً للمقصود بهذه المبالغ...

1.D.P.: دعونا نمد AC إلى AM1=OC وBD إلى DN1=OB. 2. وفقا لنظرية فيثاغورس في M1ON1: M1N1=10. 3. لننفذ M1KN1D. عضو الكنيست؟AK=K. 4. ?BOC=?KAM1 (وفقًا للمعايير التالية: BO=KM1، OC=AM1، حسب البناء، BOC=KM1A=90، يقع بشكل عرضي عند BN1 KM1، M1C - secant) AK=BC. 5. M1KDN1 - متوازي الأضلاع، DK=M1N1 =10؛ MN =DK/2= (AD+BC)/2=5...

أساليب مختلفةحل المسائل التخطيطية

1.D.P.: دعونا نمد AC إلى AM1=OC وBD إلى DN=OB. 2. فكر في OMN، NOM=90°، ثم من خلال نظرية فيثاغورس في MON MN=10. 3. فلننتظر: AEMN، وDFMN، وOKBC. 4. ?AME = ?KOC و?DFN=?BOK (وفقًا للمعيار II) ME=KC, FN=BKMN=BC+AD=a+b=10MN=10/2=5. الجواب : ن=5...

قابلية حل مشكلة قيمة حدية واحدة

لنفكر في مشكلة قيمة الحدود غير الخطية: (1) (2) يوجد تمثيل (3) العامل متماثل ذو حدود خطية؛ لديه طيف في الفترة؛ - إيجابي، أي لأي عدم مساواة يحمل ...

دع سلسلة إيجابية تعطى: ، أين. (أ) النظرية 5. إذا كان هناك نهاية: ، (5) فإن: 1) عندما تتقارب المتسلسلة (أ)، 2) عندما تتباعد المتسلسلة. دليل. من المساواة (5) بناء على تعريف حد التسلسل العددي الذي يتبعه...

تقارب السلسلة الإيجابية

النظرية 6. إذا كان هناك نهاية: (18) فإن: 1) عندما تتقارب المتسلسلة (أ)، 2) عندما تتباعد. دليل. تم إثباته باستخدام مخطط كومر. اسمحوا ان. نحن نفكر في متسلسلة، قارنها بالمتسلسلة المتباعدة...

استقرار ليابونوف

يترك --- حلنظام من المعادلات المحددة في فترة معينة، و --- حل لنفس نظام المعادلات المحددة في فترة معينة. سنقول أن الحل هو استمرار للحل إذا...