العمل المستقل 4.3 خيار الوظيفة الأسية 2. العمل المستقل "الوظيفة الأسية". خصائص الدالة الأسية

تقرر لنفسك.

يمارس. إنشاء الرسوم البيانية الوظيفية: y = ; ص = ; ص=-1

شكل من أشكال السيطرة: التحقق من الملاحظات والاستجواب الشفهي.

العمل المستقل رقم 13

الموضوع 4.3. دالة لوغاريتمية. الخصائص والجدول الزمني.

العمل المستقل (ساعتان)

· دراسة خواص الدالة اللوغاريتمية.

· رسم الدوال اللوغاريتمية.

دالة لوغاريتمية

تسمى الدالة y=,(x) بالدالة اللوغاريتمية.

الدالة اللوغاريتمية y= هي معكوس الدالة الأسية y = (x). ولذلك، فإن الرسوم البيانية الخاصة بهم متناظرة بالنسبة إلى منصف زاويتي الإحداثيات I و III (الشكل 8).

ذ

س

ص = سجل 2 س

ص = سجل 0.4x

ص = سجل 4x

ذ

س

أ>1

أ<1

فيما يلي الخصائص الرئيسية للدالة اللوغاريتمية:

1) مجال التعريف: D(y) =R + .

2) نطاق الوظيفة: E(y) =R.

3) لوغاريتم الواحد يساوي صفراً، ولوغاريتم الأساس يساوي واحداً: =0, =0, .

4) الدالة y= تزداد في الفاصل الزمني (الشكل 8 أ). في هذه الحالة، تكون لوغاريتمات الأعداد الأكبر من الواحد موجبة، وتلك الأقل من واحد تكون سالبة.

5) الدالة y=, (x, تناقص الفاصل الزمني. في هذه الحالة، تكون لوغاريتمات الأرقام الأقل من الواحد موجبة، وتلك الأكبر من الواحد تكون سالبة.

4. أوجد مجال تعريف الدالة: y=

حل. نظرًا لأن الدالة اللوغاريتمية محددة فقط للأرقام الموجبة، والجذر التربيعي للأرقام غير السالبة، فإن المشكلة تتلخص في حل نظام من المتباينات:

دعونا نعامل الجانب الأيسر من المتباينة الأولى، وفي الثانية نستبدل 1 بما يلي:

بما أن قاعدة اللوغاريتم8>1، وفقًا لخصائص اللوغاريتم، ننتقل إلى النظام: أولئك.

النظام الأخير يعادل عدم المساواة: ,

والتي يتم حلها بطريقة الفاصل (و x≠3 و x ≠ 1). باستخدام الشكل. 9ـ نحصل على الجواب: [-1;1) (3;5).

أسئلة التحكم.

1. تعريف دالة لوغاريتمية.

2. ما هو مجال التعريف ومجال قيمة الدالة y = log a x؟

3. في أي حالة تكون الدالة y = log a x متزايدة وفي أي حالة تتناقص؟

4. في أي قيم x تأخذ الدالة y = log a x قيمًا موجبة، وفي أي قيم تأخذ قيمًا سالبة؟

اختبار ذاتي. (خيارات الإجابة: نعم لا)

1. يتم تعريف الدالة اللوغاريتمية y = log a x لأي x

2. يتم تعريف الدالة y = log a x لـ a > 0، وa =/= 1، x > 0.

3. مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

4. نطاق قيم الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

5. الدالة اللوغاريتمية – الزوجية.

6. الدالة اللوغاريتمية – فردية.

7. الدالة y = log a x - تزداد عندما يكون a >1.

8. الدالة y = log a x ذات قاعدة موجبة، ولكن أقل من واحد، آخذة في التزايد.

9. الدالة اللوغاريتمية لها حد أقصى عند النقطة (1؛ 0).

10. الرسم البياني للدالة y = log a x يتقاطع مع محور OX.

11. الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية موجود في النصف العلوي من المستوى.

12. الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية متماثل بالنسبة لـ OX.

13. الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية يتقاطع مع OX عند النقطة (1؛ 0).

14. الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية موجود في الربعين الأول والرابع.

15. هناك لوغاريتم لرقم سالب.

16. هناك لوغاريتم لعدد موجب كسري.

17. الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية يمر عبر النقطة (0؛ 0).

العمل المستقل رقم 14

العمل المستقل حول هذا الموضوع“الدالة الأسية”. يحتوي العمل المستقل على خيارين مع ثلاث مهام لكل منهما. وتنقسم نصوص الدراسة الذاتية إلى ثلاثة مستويات من الصعوبة. تتوافق كل مهمة خيارية مع مستوى الصعوبة الخاص بها. تم إنشاء عمل مستقل في محرر النصوص Microsoft Word. للراحة، يتم إعطاء الإجابات الصحيحة.

عرض محتويات الوثيقة
"العمل المستقل "الدالة الأسية""

جمهورية بيلاروسيا

وكالة حكوميةالتعليم "مدرسة نوفوبولوتسك"

عمل مستقل في قسم الرياضيات والجبر

الموضوع: الدالة الأسية

إعداد: كونوفاليونوك

أولغا فلاديميروفنا،

مدرس الرياضيات العالي

الخيار 1

1. قارن:

1) و

2)
و

أ) قيمة أ؛

ب) مجال التعريف؛

خيار2

1. قارن:

1) و

2)
و

2. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة المعطاة بالصيغة
على المجموعة د. حدد لها:

أ) قيمة أ؛

ب) مجال التعريف؛

ج) مجموعة (مساحة) القيم؛

د) فترات الزيادة (النقصان)؛

هـ) إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني مع محور أوي؛

و) القيمة عند النقاط x1= -1 و x2= 1؛

ز) القيم الأكبر والأصغر.

3. بيّن المجال الطبيعي لتعريف التعبير (أ1):

الخيار 1

1. 1) ; 2)

يوفر بيانات مرجعية عن الدالة الأسية - الخصائص الأساسية والرسوم البيانية والصيغ. يتم تناول المواضيع التالية: مجال التعريف، مجموعة القيم، الرتابة، الدالة العكسية، المشتقة، التكامل، توسيع سلسلة القوى والتمثيل باستخدام الأعداد المركبة.

محتوى

خصائص الدالة الأسية

الدالة الأسية y = a x لها الخصائص التالية في مجموعة الأعداد الحقيقية ():
(1.1) محددة ومستمرة، من أجل، للجميع؛
(1.2) ل ≠ 1 له معاني كثيرة؛
(1.3) يزيد بشكل صارم في ، يتناقص بشكل صارم في ،
ثابت عند ؛
(1.4) في ؛
في ؛
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

صيغ مفيدة أخرى.
.
صيغة للتحويل إلى دالة أسية ذات أساس أسي مختلف:

عندما b = e، نحصل على تعبير الدالة الأسية من خلال الأسي:

القيم الخاصة

, , , , .

ص = س في معان مختلفةقواعد أ .

يوضح الشكل الرسوم البيانية للدالة الأسية
ذ (خ) = الفأس
لأربع قيم قواعد الدرجة: أ = 2 ، أ = 8 ، أ = 1/2 و = 1/8 . ويمكن ملاحظة أن ل> 1 تزيد الدالة الأسية بشكل رتيب. كلما كانت قاعدة الدرجة أ أكبر، كان النمو أقوى. في 0 < a < 1 تنخفض الدالة الأسية بشكل رتيب. كلما كان الأس أصغر، كان الانخفاض أقوى.

تنازلي تصاعدي

الدالة الأسية لـ هي رتيبة تمامًا، وبالتالي لا تحتوي على نقاط متطرفة. يتم عرض خصائصه الرئيسية في الجدول.

	ص = أ س، أ> 1	ص = الفأس، 0 < a < 1
اِختِصاص	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
مدى من القيم	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
روتيني	يزيد رتابة	يتناقص رتابة
أصفار، ص = 0	لا	لا
نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي x = 0	ص = 1	ص = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

وظيفة عكسية

معكوس الدالة الأسية ذات الأساس a هو لوغاريتم الأساس a.

اذا ثم
.
اذا ثم
.

تمايز الدالة الأسية

للتمييز بين دالة أسية، يجب تقليل قاعدتها إلى الرقم e، وتطبيق جدول المشتقات وقاعدة التمييز بين دالة معقدة.

للقيام بذلك تحتاج إلى استخدام خاصية اللوغاريتمات
والصيغة من جدول المشتقات:
.

دع الوظيفة الأسية تعطى:
.
نأتي به إلى القاعدة ه:

دعونا نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة. للقيام بذلك، أدخل المتغير

ثم

من جدول المشتقات لدينا (استبدل المتغير x بـ z):
.
بما أنه ثابت، فإن مشتقة z بالنسبة إلى x تساوي
.
وفقًا لقاعدة التمايز لوظيفة معقدة:
.

مشتق من الدالة الأسية

.
مشتق من الترتيب ن:
.
اشتقاق الصيغ > > >

مثال على اشتقاق الدالة الأسية

أوجد مشتقة الدالة
ص = 3 5 س

حل

لنعبر عن أساس الدالة الأسية من خلال الرقم e.
3 = ه لن 3
ثم
.
أدخل متغيرا
.
ثم

من جدول المشتقات نجد:
.
بسبب ال 5 لتر 3ثابت، فإن مشتقة z بالنسبة إلى x تساوي:
.
وفقًا لقاعدة اشتقاق دالة معقدة، لدينا:
.

إجابة

أساسي

التعبيرات باستخدام الأعداد المركبة

النظر في الوظيفة عدد مركب ض:
F (ض) = أ ض
حيث ض = س + iy؛ أنا 2 = - 1 .
دعونا نعبر عن الثابت المعقد a بدلالة المعامل r والوسيطة φ:
أ = ص ه ط φ
ثم


.
لم يتم تعريف الوسيطة φ بشكل فريد. في منظر عام
φ = φ 0 + 2 ن,
حيث n هو عدد صحيح. لذلك فإن الدالة f (ض)هو أيضا غير واضح. غالبا ما تؤخذ أهميتها الرئيسية في الاعتبار
.

رقم الدرس2

الموضوع: الدالة الأسية وخصائصها ورسمها البياني.

هدف:التحقق من جودة إتقان مفهوم "الدالة الأسية"؛ لتطوير المهارات في التعرف على الدالة الأسية، واستخدام خصائصها ورسومها البيانية، وتعليم الطلاب كيفية استخدام الأشكال التحليلية والرسومية لتسجيل الدالة الأسية؛ توفير بيئة العمل داخل الفصل الدراسي.

معدات:لوحة، ملصقات

شكل الدرس: درس الصف

نوع الدرس: الدرس العملي

نوع الدرس:درس في مهارات التدريس والقدرات

خطة الدرس

1. اللحظة التنظيمية

2. العمل المستقل وفحص الواجبات المنزلية

3. حل المشكلات

4. تلخيص

5. الواجبات المنزلية

خلال الفصول الدراسية.

1. اللحظة التنظيمية :

مرحبًا. افتحوا دفاتركم، واكتبوا تاريخ اليوم وموضوع الدرس "الدالة الأسية". سنواصل اليوم دراسة الدالة الأسية وخصائصها ورسمها البياني.

2. العمل المستقل وفحص الواجبات المنزلية .

هدف:التحقق من جودة إتقان مفهوم "الدالة الأسية" والتحقق من إكمال الجزء النظري من الواجب المنزلي

طريقة:مهمة الاختبار، المسح الأمامي

كواجب منزلي، تم إعطاؤك أرقامًا من كتاب المشكلات وفقرة من الكتاب المدرسي. لن نتحقق من تنفيذك للأرقام من الكتاب المدرسي الآن، ولكنك ستقوم بتسليم دفاتر ملاحظاتك في نهاية الدرس. الآن سيتم اختبار النظرية في شكل اختبار صغير. المهمة هي نفسها للجميع: يتم إعطاؤك قائمة بالوظائف، ويجب عليك معرفة أي منها إرشادي (ضع خطًا تحتها). وبجوار الدالة الأسية عليك أن تكتب ما إذا كانت تزايدية أم تناقصية.

الخيار 1 إجابة ب) د) - الأسي، المتناقص	الخيار 2 إجابة د) - الأسي، المتناقص د) - الأسي، المتزايد
الخيار 3 إجابة أ) - الأسي، المتزايد ب) - الأسي، المتناقص	الخيار 4 إجابة أ) - الأسي، المتناقص في) - الأسي، المتزايد

الآن دعونا نتذكر معًا ما هي الدالة التي تسمى الأسية؟

دالة النموذج حيث و تسمى دالة أسية.

ما هو نطاق هذه الوظيفة؟

جميع الأعداد الحقيقية.

ما مدى الدالة الأسية؟

جميع الأعداد الحقيقية الإيجابية.

يتناقص إذا كان أساس القوة أكبر من صفر ولكن أقل من واحد.

في أي حالة تنخفض الدالة الأسية في مجال تعريفها؟

تزداد إذا كان أساس القوة أكبر من واحد.

3. حل المشكلات

هدف: لتطوير المهارات في التعرف على الدالة الأسية، باستخدام خصائصها ورسومها البيانية، وتعليم الطلاب كيفية استخدام الأشكال التحليلية والرسومية لكتابة الدالة الأسية

طريقة: عرض يقدمه المعلم لحل المشكلات النموذجية، والعمل الشفهي، والعمل على السبورة، والعمل في دفتر ملاحظات، والمحادثة بين المعلم والطلاب.

يمكن استخدام خصائص الدالة الأسية عند مقارنة رقمين أو أكثر. على سبيل المثال: رقم 000. قارن القيم وإذا أ) ..gif" width="37" height="20 src=">، فهذه مهمة معقدة إلى حد ما: علينا أن نأخذ الجذر التكعيبي للعددين 3 و9 ونقارنهما. لكننا نعلم أنه يزيد، وهذا بدوره يعني أنه مع زيادة الوسيطة، تزداد قيمة الدالة، أي أننا نحتاج فقط إلى مقارنة قيم الوسيطة ومن الواضح أن (يمكن إظهاره على ملصق يُظهر دالة أسية متزايدة). ودائمًا، عند حل مثل هذه الأمثلة، عليك أولاً تحديد أساس الدالة الأسية، ومقارنتها بالرقم 1، وتحديد الرتابة والمضي قدمًا في مقارنة الوسائط. في حالة الدالة التناقصية: عندما يزيد الوسيط، تنخفض قيمة الدالة، لذلك نغير علامة المتباينة عند الانتقال من متباينة الحجج إلى متباينة الدوال. بعد ذلك، نحل شفهيًا: ب)

-

في)

-

ز)

-

- رقم 000. قارن بين الأرقام: أ) و

وبالتالي تزداد الدالة

لماذا ؟

زيادة وظيفة و

وبالتالي، فإن الدالة تتناقص، إذن

تزداد كلتا الدالتين عبر مجال تعريفهما بالكامل، حيث أنهما أسيتان بقاعدة قوة أكبر من واحد.

ما هو المعنى وراء ذلك؟

نحن نبني الرسوم البيانية:

ما هي الوظيفة التي تزداد بشكل أسرع عند السعي https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

ما هي الوظيفة التي تتناقص بشكل أسرع عند السعي https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

على الفترة، أي من الدوال لها قيمة أكبر عند نقطة محددة؟

D)، https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width = "69" height = "57 src = ">. أولاً، دعنا نتعرف على نطاق تعريف هذه الوظائف. هل يتزامنان؟

نعم، مجال هذه الدوال هو جميع الأعداد الحقيقية.

قم بتسمية نطاق كل من هذه الوظائف.

نطاقات هذه الوظائف متطابقة: جميع الأعداد الحقيقية الموجبة.

تحديد نوع الرتابة لكل وظيفة.

تتناقص جميع الوظائف الثلاث في جميع أنحاء مجال تعريفها بالكامل، نظرًا لأنها أسية بقاعدة قوى أقل من واحد وأكبر من الصفر.

ما هي النقطة الخاصة الموجودة في الرسم البياني للدالة الأسية؟

ما هو المعنى وراء ذلك؟

مهما كان أساس درجة الدالة الأسية، إذا كان الأس يحتوي على 0، فإن قيمة هذه الدالة هي 1.

نحن نبني الرسوم البيانية:

دعونا نحلل الرسوم البيانية. ما عدد نقاط التقاطع الموجودة في الرسوم البيانية للوظائف؟

ما هي الوظيفة التي تتناقص بشكل أسرع عند المحاولة https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

ما هي الوظيفة التي تزداد بشكل أسرع عند السعي https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

على الفترة، أي من الدوال لها قيمة أكبر عند نقطة محددة؟

على الفترة، أي من الدوال لها قيمة أكبر عند نقطة محددة؟

لماذا تحتوي الدوال الأسية ذات الأساسات المختلفة على نقطة تقاطع واحدة فقط؟

تعتبر الدوال الأسية رتيبة تمامًا في جميع أنحاء مجال تعريفها بالكامل، لذا يمكن أن تتقاطع عند نقطة واحدة فقط.

سوف تركز المهمة التالية على استخدام هذه الخاصية. رقم 000. أوجد أكبر وأصغر قيم للدالة المحددة في الفترة المحددة أ) . تذكر أن الدالة الرتيبة بدقة تأخذ قيمها الدنيا والقصوى في نهايات مقطع معين. وإذا كانت الدالة متزايدة، فهي كذلك أعلى قيمةسيكون في الطرف الأيمن من المقطع، والأصغر في الطرف الأيسر من المقطع (عرض توضيحي على الملصق، باستخدام مثال الدالة الأسية). إذا كانت الدالة تتناقص، فستكون قيمتها الأكبر في الطرف الأيسر من المقطع، والأصغر في الطرف الأيمن من المقطع (عرض توضيحي على الملصق، باستخدام مثال الدالة الأسية). الدالة تتزايد، وبالتالي فإن أصغر قيمة للدالة ستكون عند النقطة https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >.النقاط ب) ، الخامس) د) قم بحل الدفاتر بنفسك، وسنقوم بتدقيقها شفوياً.

يقوم الطلاب بحل المهمة في دفاتر ملاحظاتهم

وظيفة متناقصة

وظيفة متناقصة أكبر قيمة للدالة على القطعة أصغر قيمة للدالة على القطعة

وظيفة متزايدة أصغر قيمة للدالة على القطعة أكبر قيمة للدالة على القطعة

- رقم 000. أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة المعطاة في الفترة المحددة أ) . هذه المهمة هي تقريبا نفس المهمة السابقة. لكن ما هو معطى هنا ليس قطعة، بل شعاع. نحن نعلم أن الدالة تزايدية، وليس لها القيمة الأكبر ولا الأصغر على خط الأعداد بأكمله https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">، ويميل إلى عند، أي على الشعاع تميل الدالة عند إلى 0، ولكن ليس لها أصغر قيمة لها، ولكنها لها أكبر قيمة عند النقطة . النقاط ب) ، الخامس) ، ز) قم بحل الدفاتر بنفسك وسنقوم بفحصها شفويا.

خصائص الدالة الأسية		ص =، 0< a < 1
1. مجال الوظيفة
2. نطاق الوظائف
3. فترات المقارنة مع الوحدة	لـ x > 0، > 1	لx > 0, 0< < 1
في العاشر< 0, 0< < 1	في العاشر< 0, > 1
4. حتى، غريب.	الدالة ليست زوجية ولا فردية (دالة ذات شكل عام).
5. الرتابة.	يزيد بشكل رتيب على R	يتناقص بشكل رتيب على R
6. التطرف.	الدالة الأسية لا تحتوي على نقاط متطرفة.
7. الخط المقارب	محور الثور هو خط مقارب أفقي.
8. لأي قيم حقيقية لـ x و y؛

أمثلة:

مثال رقم 1. (لإيجاد مجال تعريف الدالة). ما هي قيم الوسيطات الصالحة للوظائف:

مثال رقم 2. (للإيجاد مدى قيم الدالة). يوضح الشكل الرسم البياني للوظيفة. حدد مجال التعريف ونطاق قيم الوظيفة:

مثال رقم 3. (للإشارة إلى فترات المقارنة بواحد). قارن بين كل من القوى التالية بواحدة منها:

مثال رقم 4. (لدراسة دالة الرتابة). قارن بين الأعداد الحقيقية m و n في الحجم إذا:

مثال رقم 5. (لدراسة دالة الرتابة). استنتج استنتاجًا بخصوص القاعدة "أ" إذا:

ص(س) = 10س; و(س) = 6س؛ ض(خ) - 4x

كيف هي الرسوم البيانية للوظائف الأسية بالنسبة لبعضها البعض لـ x > 0، x = 0، x< 0?

طاولة. خاتمة:

طاولة. خاتمة:

يتم رسم الرسوم البيانية الوظيفية التالية في مستوى إحداثي واحد:

ص(س) = (0,1)س; و(س) = (0.5)س؛ ض(س) = (0.8)س.

كيف هي الرسوم البيانية للوظائف الأسية بالنسبة لبعضها البعض لـ x > 0، x = 0، x< 0?

خاتمة

في هذه الدورة التدريبية حول موضوع "الدالة الأسية"، قمت بدراسة مفهومها وخصائصها الأساسية ورسومها البيانية.

يعد موضوع الدالة الأسية بشكل عام أحد المواضيع المستخدمة بشكل متكرر في العمليات الحسابية وحل المشكلات المختلفة.

قدم العمل أمثلة ومهام متفاوتة التعقيد والمحتوى.

في رأيي، تم تنفيذ الدورة التدريبية في إطار منهجية تدريس الرياضيات ويمكن استخدامها كمساعدة بصرية للطلاب بدوام كامل وبدوام جزئي.