Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения. Числовые ряды повышенной сложности Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда
Возьмем в признаке Куммера в качестве расходящегося ряда (12.1) гармонический ряд
В этом случае мы имеем
Полученный признак сходимости может быть сформулирован следующим образом.
Теорема (признак сходимости Раабе). Ряд
сходится, если найдется такое что
Этот ряд расходится, если, начиная с некоторого будет
Предельная форма признака Раабе выглядит следующим образом:
то ряд (12.9) сходится, а если
то расходится.
Признак сходимости Раабе существенно чувствительней, чем сходный с ним признак сходимости Даламбера. Действительно, там, где признак Даламбера, взятый в его предельной форме, устанавливает сходимость ряда (12.9):
там признак Раабе дает .
Аналогично для ряда, на расходимость которого указывает признак Даламбера, по признаку Раабе будет
1. Рассмотрим ряд
Здесь так что при каждом конкретном х
и применение признака Даламбера здесь безрезультатно. Признак же Раабе дает
Отсюда видно, что при рассматриваемый ряд сходится, а при расходится. Заметим попутно, что при ряд (12.10) превращается в гармонический, который, как известно, расходится. То, что признак Раабе в своей исходной (непредельной) форме устанавливает расходимость гармонического ряда, не может считаться самостоятельным результатом, так как само составляющее признак Раабе утверждение как раз опирается на эту расходимость.
Составим отношение соседних членов этого ряда:
Будем разлагать стоящие справа Логарифмы и квадратные корни в соответствии с формулой Тейлора по степеням . В этом и в следующих примерах мы будем пользоваться предельными признаками сходимости. Это значит, что нам придется неограниченно увеличивать значения переменной Поэтому каждая следующая степень будет при увеличении бесконечно малой высшего порядка по сравнению с предыдущими. Отбрасывая все степени, начиная с некоторой, будем совершать ошибку, которая будет мала не только абсолютно, но и по сравнению с последним из удержанных членов. Эта относительная ошибка будет тем меньшей, чем больше значение и исчезает в пределе при неограниченном возрастании . В зависимости от требуемой точности рассуждений мы будем удерживать в формулах Тейлора для соответствующих функций то или иное число членов. Далее мы будем связывать знаком выражения, отличающиеся друг от друга величинами, малыми по сравнению с той точностью, которую дают удержанные и выписанные члены.
Сначала ограничимся членами логарифмов и корней, содержащими в степени не выше первой. Мы будем иметь
Следовательно, и признак сходимости Даламбера здесь нам никакого ответа дать не может.
Рассмотрим положительный числовой ряд .
Если существует предел , то:
а) При ряд расходится
. Причём полученное значение может быть нулевым или отрицательным
б) При ряд сходится
. В частности, ряд сходится при .
в) При признак Раабе не даёт ответа
.
Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь:
Да, картина, мягко говоря, неприятная, но я уже не удивился.Подобные пределы раскалываются с помощью правила Лопиталя
, и первая мысль, как потом выяснилась, оказалось правильной. Но сначала я где-то час я крутил-вертел предел «обычными» методами, однако неопределённость не желала устраняться. А ходьба по кругу, как подсказывает опыт – типичный признак того, что выбран неверный способ решения.
Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-ой том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда . И дальше пошло решение по образцу:
Поскольку числовая последовательность считается частным случаем функции, то в пределе проведём замену: . Если , то .
В результате:
Теперь у меня предел функции
и применимо правило Лопиталя
. В процессе дифференцирования придётся брать производную степенно-показательной функции
, которую технически удобно найти отдельно от основного решения:
ТерпИте, раз уж сюда забрались – Бармалей в начале статьи предупреждал =) =)
Дважды использую правило Лопиталя:
расходится .
Потрачена уйма времени, но мои ворота устояли!
Ради интереса я вычислил 142 члена ряда в Экселе (на бОльшее не хватило вычислительной мощности) и похоже (но строго теоретически не гарантировано!), что для данного ряда не выполнен даже необходимый признак сходимости. Посмотреть эпический результат можноздесь >>> После таких злоключений не удержался от соблазна этим же любительским способом проверить и предел .
Пользуйтесь на здоровье, решение легально!
А это ваш слонёнок:
Пример 20
Исследовать сходимость ряда
Если вы хорошо прониклись идеями данного урока, то справитесь с этим примером! Он значительно проще предыдущего;-)
Наше путешествие завершилось на яркой ноте, и, надеюсь, у всех оставило незабываемое впечатление. Желающие продолжения банкета могут пройти на страницу Готовые задачи по высшей математике и закачать архив с дополнительными заданиями по теме.
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение : сравним данный ряд со сходящимся рядом . Для всех натуральных номеров справедливо неравенство , а значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .
Пример 4: Решение
: сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Используем предельный признак сравнения:
(произведение бесконечно малой на ограниченную – есть бесконечно малая последовательность)
расходится
вместе с гармоническим рядом.
Пример 5: Решение
: вынесем множитель-константу общего члена за пределы суммы, от него не зависит сходимость или расходимость ряда:
Сравним данный ряд со сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией . Последовательность – ограничена: , поэтому для всех натуральных номеров выполнено неравенство . А, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .
Пример 8: Решение
: сравним данный ряд с расходящимся рядом (константа-множитель общего члена не влияет на сходимость или расходимость ряда). Используем предельный признак сравнения и замечательный предел :
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится
вместе с рядом .
Пример 13: Решение
Таким образом, исследуемый ряд сходится
.
Пример 14: Решение
: используем признак Даламбера:
Заменим бесконечно малые эквивалентными: при .
Используем второй замечательный предел: .
Следовательно, исследуемый ряд расходится
.
Умножим и разделим на сопряженное выражение:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится
вместе с рядом .
Пример 20: Решение
: проверим необходимое условие сходимости ряда. В ходе вычислений типовым приёмом организуем 2-ой замечательный предел:
Таким образом, исследуемый ряд расходится
.
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)
Стандартными методами, но зашли в тупик с очередным примером.
В чём состоит трудность и где может быть загвоздка? Отложим в сторону намыленную верёвку, спокойно проанализируем причины и ознакомимся с практическими приёмами решения.
Первое, и самое главное : в подавляющем большинстве случаев для исследования сходимости ряда необходимо применить какой-нибудь знакомый способ, но общий член ряда набит настолько хитрой начинкой, что совершенно не очевидно, что с ней делать. И вы ходите по кругу: не срабатывает первый признак, не годится второй, не получается третьим, четвёртым, пятым методом, потом черновики отбрасываются в сторону и всё начинается заново. Обычно это связано с недостатком опыта или пробелами в других разделах математического анализа. В частности, если запущены пределы последовательностей и поверхностно разобраны пределы функций , то придётся туго.
Иными словами, человек просто не видит нужный приём решения в силу недостатка знаний или опыта.
Бывает виновато и «затмение», когда, например, элементарно не выполнен необходимый признак сходимости ряда, но по незнанию, невнимательности либо небрежности это выпадает из поля зрения. И получается как в той байке, где профессор математики решил детскую задачку с помощью диких рекуррентных последовательностей и числовых рядов =)
В лучших традициях сразу живые примеры: ряды 
и их родственники – расходятся, так как в теории доказаны пределы последовательностей
. Скорее всего, в первом семестре из вас вытрясут душу за доказательство на 1-2-3 страницы, но сейчас вполне достаточно показать невыполнение необходимого условия сходимости ряда, сославшись на известные факты. Известные? Если студент не знает, что корень энной степени – штука чрезвычайно мощная, то, скажем, ряды 
поставят его в тупик. Хотя решение, как дважды два: , т.е. по понятной причине оба ряда расходятся. Скромного комментария «данные пределы доказаны в теории» (или даже вовсе его отсутствия) вполне хватит для зачёта, всё-таки выкладки достаточно тяжёлые и относятся они точно не к разделу числовых рядов.
А изучив ближайшие примеры, вы будете только удивляться краткости и прозрачности многих решений:
Пример 1
Исследовать сходимость ряда
Решение : прежде всего, проверяем выполнение необходимого признака сходимости . Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».
«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?
Примерные образцы оформления задач в конце урока.
Не редкость, когда приходится проводить двухходовое (а то и трёхходовое) рассуждение:
Пример 6
Исследовать сходимость ряда
Решение
: сначала аккуратно разбираемся с тарабарщиной числителя. Последовательность – ограничена: . Тогда:
Сравним наш ряд с рядом . В силу только что полученного двойного неравенства, для всех «эн» будет выполнено:
Теперь сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом .
Знаменатель дроби меньше
знаменателя дроби , поэтому сама дробь
– больше
дроби (распишите несколько первых членов, если не понятно). Таким образом, для любого «эн»:
А значит, по признаку сравнения ряд 
расходится
вместе с гармоническим рядом.
Если немного видоизменить знаменатель: 
, то первая часть рассуждений будет аналогична: 
. Но вот для доказательства расходимости ряда уже применим только предельный признак сравнения, так как неравенство неверно.
Ситуация со сходящимися рядами «зеркальна», то есть, например, для ряда можно использовать оба признака сравнения (неравенство справедливо), а для ряда – только предельный признак (неравенство неверно).
Продолжаем наше сафари по дикой природе, где на горизонте замаячило стадо грациозных и сочных антилоп:
Пример 7
Исследовать сходимость ряда
Решение : необходимый признак сходимости выполняется, и мы снова задаёмся классическим вопросом: что делать? Перед нами нечто напоминающее сходящийся ряд , однако, чёткого правила тут нет – такие ассоциации зачастую обманчивы.
Зачастую, да не в этот раз. С помощью предельного признака сравнения
сравним наш ряд со сходящимся рядом . В ходе вычисления предела используем замечательный предел
, где в качестве бесконечно малой величины
выступает :
сходится вместе с рядом .
Вместо применения стандартного искусственного приёма домножения и деления на «тройку», можно было изначально провести сравнение со сходящимся рядом .
Но здесь желательна оговорка, что константа-множитель общего члена не влияет на сходимость ряда. И как раз в таком стиле оформлено решение следующего примера:
Пример 8
Исследовать сходимость ряда
Образец в конце урока.
Пример 9
Исследовать сходимость ряда
Решение : в предыдущих примерах мы пользовались ограниченностью синуса, но сейчас это свойство оказывается вне игры. Знаменатель дроби более высокого порядка роста , чем числитель, поэтому при аргумент синуса и весь общий член бесконечно малЫ . Необходимое условие сходимости, как понимаете, выполнено, что не позволяет нам отлынивать от работы.
Проведём разведку: в соответствии с замечательной эквивалентностью
, мысленно отбросим синус и получим ряд . Ну а уж такое-то….
Оформляем решение:
Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
Заменим бесконечно малую эквивалентной: при 
.
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
Пример 10
Исследовать сходимость ряда
Это пример для самостоятельного решения.
Для планирования дальнейших действий в подобных примерах здОрово помогает мысленное отбрасывание синуса, арксинуса, тангенса, арктангенса. Но помните, такая возможность существует лишь при бесконечно малом аргументе, не так давно мне попался провокационный ряд:
Пример 11
Исследовать сходимость ряда
.
Решение
: здесь бесполезно использовать ограниченность арктангенса, и эквивалентность тоже не работает. Выход неожиданно прост:
Исследуемый ряд расходится
, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Вторая причина «затыка на задании» состоит в приличной навороченности общего члена , что вызывает затруднения уже технического характера. Грубо говоря, если рассмотренные выше ряды относятся к разряду «фиг догадаешься», то эти – к категории «хрен решишь». Собственно, это и называют сложностью в «обычном» понимании. Далеко не каждый правильно разрулит несколько факториалов, степеней, корней и прочих обитателей саванны. Больше всего проблем доставляют, конечно же, факториалы:
Пример 12
Исследовать сходимость ряда
Как возвести факториал в степень? Легко. По правилу действий со степенями, необходимо возвести в степень каждый множитель произведения:
И, конечно же, внимание и ещё раз внимание, сам-то по себе признак Даламбера работает традиционно:
Таким образом, исследуемый ряд сходится .
Напоминаю рациональную методику устранения неопределённости : когда понятен порядок роста числителя и знаменателя – совсем не обязательно мучаться и раскрывать скобки.
Пример 13
Исследовать сходимость ряда
Зверь очень редкий, но встречается, и было бы несправедливым обойти его объективом камеры.
Что такое факториал с двойным восклицательным знаком? Факториал «накручивает» произведение положительных чётных чисел:
Аналогично, факториал «накручивает» произведение положительных нечётных чисел:
Проанализируйте, в чём состоит отличие от и
Пример 14
Исследовать сходимость ряда
А в этом задании постарайтесь не запутаться со степенями, замечательными эквивалентностями и замечательными пределами .
Образцы решений и ответы в конце урока.
Но студент достаётся на корм не только тиграм – свою добычу выслеживают и хитрые леопарды:
Пример 15
Исследовать сходимость ряда
Решение
: практически мгновенно отпадают необходимый признак сходимости, предельный признак, признаки Даламбера и Коши. Но хуже всего, что бессилен неоднократно выручавший нас признак с неравенствами. Действительно, сравнение с расходящимся рядом невозможно, так как неравенство 
неверно – множитель-логарифм только увеличивает знаменатель, уменьшая саму дробь 
по отношению к дроби . И другой глобальный вопрос: а почему мы вообще изначально уверены, что наш ряд 
непременно обязан расходиться и его нужно сравнивать с каким-либо расходящимся рядом? Вдруг он вообще сходится?
Интегральный признак? Несобственный интеграл
навевает траурное настроение. Вот если бы у нас был ряд 
… тогда да. Стоп! Так и рождаются идеи. Оформляем решение в два шага:
1) Сначала исследуем сходимость ряда 
. Используем интегральный признак
:
Подынтегральная функция непрерывна на
Таким образом, ряд 
расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
2) Сравним наш ряд с расходящимся рядом 
. Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится
вместе с рядом 
.
И в таком решении нет ничего необычного или творческого – так и надо решать!
Предлагаю самостоятельно оформить следующую двухходовку:
Пример 16
Исследовать сходимость ряда
Студент с некоторым опытом в большинстве случаев сразу видит, сходится ряд или расходится, но, бывает, что хищник ловко маскируется в кустах:
Пример 17
Исследовать сходимость ряда
Решение
: на первый взгляд вообще не понятно, как ведёт себя этот ряд. А если перед нами туман, то логично начать с черновой проверки необходимого условия сходимости ряда. В целях устранения неопределённости используем непотопляемый метод умножения и деления на сопряженное выражение
:
Необходимый признак сходимости не сработал, но вывел на чистую воду нашего тамбовского товарища. В результате выполненных преобразований получен эквивалентный ряд 
, который в свою очередь сильно напоминает сходящийся ряд .
Записываем чистовое решение:
Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
Умножим и разделим на сопряженное выражение:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .
Возможно, у некоторых возник вопрос, откуда на нашем африканском сафари появились волки? Не знаю. Завезли, наверное. Следующую трофейную шкуру добывать вам:
Пример 18
Исследовать сходимость ряда
Примерный образец решения в конце урока
И, наконец, ещё одна мысль, которая в отчаянии посещает многих студентов: а не использовать ли более редкий признак сходимости ряда ? Признак Раабе, признак Абеля, признак Гаусса, признак Дирихле и прочие неведомые зверушки. Идея рабочая, но в реальных примерах осуществляется очень редко. Лично я за все годы практики лишь 2-3 раза прибегнул к признаку Раабе , когда действительно ничего не помогло из стандартного арсенала. Полностью воспроизвожу ход своего экстремального квеста:
Пример 19
Исследовать сходимость ряда
Решение
: Безо всяких сомнений признак Даламбера. В ходе вычислений активно использую свойства степеней, а также второй замечательный предел
:
Вот тебе и раз. Признак Даламбера не дал ответа, хотя ничего не предвещало такого исхода.
Пошерстив справочник, я нашёл доказанный в теории малоизвестный предел и применил более сильный радикальный признак Коши:
Вот тебе и два. И, главное, совершенно не понятно, сходится ряд или расходится (крайне редкая для меня ситуация). Необходимый признак сравнения? Без особых надежд – даже если немыслимым образом разберусь с порядком роста числителя и знаменателя, то это ещё не гарантирует вознаграждения.
Полный даламбер, но самое скверное, что ряд нужно решить. Нужно. Ведь это будет первый случай, когда я сдамся. И тут мне вспомнилось, что вроде существуют ещё какие-то более сильные признаки. Передо мной был уже не волк, не леопард и не тигр. Это был огромный слон, размахивающий большим хоботом. Пришлось взять в руки гранатомёт:
Признак Раабе
Рассмотрим положительный числовой ряд .
Если существует предел 
, то:
а) При ряд расходится
. Причём полученное значение может быть нулевым или отрицательным
б) При ряд сходится
. В частности, ряд сходится при .
в) При признак Раабе не даёт ответа
.
Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь:
Да, картина, мягко говоря, неприятная, но я уже не удивился.Подобные пределы раскалываются с помощью правила Лопиталя
, и первая мысль, как потом выяснилась, оказалось правильной. Но сначала я где-то час крутил-вертел предел «обычными» методами, однако неопределённость не желала устраняться. А ходьба по кругу, как подсказывает опыт – типичный признак того, что выбран неверный способ решения.
Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-й том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда . И дальше пошло решение по образцу.
6. Признак Раабе
Теорема 6. Если существует предел:
то: 1) при ряд (А) сходится, 2) при ряд расходится.
Доказательство. Доказывается вспомогательное утверждение:
Утверждение 1. (12)
Доказательство. Рассматривается выражение:
Прологарифмировали обе части равенства:
Возвратились к пределу:
Из равенства (11), на основании определения предела числовой последовательности, следует, что для любого сколь угодно малого существует, такой что для выполняется неравенство:
1) Пусть, тогда. Обозначили, тогда, начиная с номера, из неравенства (13) следует, что выполняется следующее неравенство:
взяли любое число. По (12), для достаточно больших будет выполняться:
Отсюда, по (14), следует:
Справа - отношение двух последовательных членов ряда Дирихле при; после применения теоремы 4 становится очевидной сходимость ряда (А).
2) Пусть, тогда, аналогично пункту (1), из (13) следует неравенство:
Отсюда сразу нашли:
после применения к ряду (А) и ряду Дирихле теоремы 4 становится видна расходимость ряда (А).
Замечание 5. Признак Раабе значительно сильнее признака Даламбера
Замечание 6. При признак Раабе ответа на поставленный вопрос не дает.
11) Исследовать ряд с помощью признаков Даламбера и Раабе:
Признак Даламбера на вопрос о сходимости данного ряда ответа не дает. Исследуется ряд с помощью признака Раабе:
Получилась неопределенность типа, поэтому применили 1-е правило Лопиталя-Бернулли:
Рад расходится при, сходится при, а при признак Раабе на вопрос о сходимости ответа не дает.
12) Исследовать ряд с помощью признака Раабе:
Получилась неопределенность типа, но, прежде чем применить 1-е правило Лопиталя-Бернулли, находится производная от выражения, для этого оно логарифмируется и ищется производная от логарифма:
Теперь можно найти производную от выражения:
Возвратились к пределу. Применяется 1-е правило Лопиталя-Бернулли:
Рассматривается выражение. После применения к нему 1-го правила Лопиталя-Бернулли:
Отсюда следует, что:
Подставили это равенство в выражение:
Отсюда, по признаку Раабе, следует, что данный ряд расходится при, сходится при, а при признак Раабе ответа на вопрос о сходимости ряда не дает.
Додаткові умови збіжності числових рядів
Візьмемо для ознаки Куммера в якості розбіжного ряду гармонійний ряд (3.1). У цьому випадку ми маємо. Отримана ознака збіжності може бути сформульована таким чином. Теорема (ознака збіжності Раабе). Ряд, збігається, якщо знайдеться таке...
Знакопеременные ряды
Теорема (Признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если: Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ; Общий член ряда стремится к нулю:. При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам. Замечания...
Теорема 1 (признак Даламбера). Пусть дан ряд, где все > 0.Если существует предел, то при 0<1 ряд сходится, а при > 1 ряд сходится.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Теорема 2 (признак Коши). Пусть дан ряд, . (1) Если существует конечный предел, то 1) при ряд сходится;2) при ряд расходится.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Теорема 3 (интегральный признак сходимости). Пусть функция f(x) определена, непрерывна, положительна и не возрастает на луче. Тогда: 1) числовой ряд сходится...
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Определение. Числовой ряд a1 - a2 + a3 - … + (- 1) n - 1an + … , где все числа an положительны, называется знакочередующимся. Пример. Ряд является знакочередующимся, а ряд знакочередующимся не является...
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами...
1.Д.П.: Продлим AC на AM1=OC и BD на DN1=OB. 2. По теореме Пифагора в?M1ON1: M1N1=10. 3. Проведем M1KN1D. MK?AK=K. 4. ?BOC=?KAM1 (поЙ признаку: BO=KM1, OC=AM1, по построению, BOC=KM1A=90, накрест лежащие при BN1 KM1, M1C - секущей) AK=BC. 5. M1KDN1 - параллелограмм, DK=M1N1 =10; MN =DK/2= (AD+BC)/2=5...
Различные методы решения планиметрических задач
1.Д.П.: Продлим AC на AM1=OC и BD на DN=OB. 2. Рассмотрим?OMN, NOM=90°, тогда по теореме Пифагора в?MON MN=10. 3. Постоим: AEMN, DFMN, OKBC. 4. ?AME = ?KOC и?DFN=?BOK (по II признаку) ME=KC, FN=BKMN=BC+AD=a+b=10MN=10/2=5. Ответ: MN=5...
Разрешимость одной краевой задачи
Рассмотрим нелинейную краевую задачу: (1) (2) Имеет место представление (3) Оператор - линейный ограниченный симметрический; имеет спектр в интервале; - положителен, т. е. для любого имеет место неравенство...
Пусть дан положительный ряд: , где. (А) Теорема 5. Если существует предел: , (5) то: 1) при ряд (А) сходится, 2) при ряд расходится. Доказательство. Из равенства (5) на основании определения предела числовой последовательности следует...
Сходимость положительных рядов
Теорема 6. Если существует предел: (18) то: 1) при ряд (А) сходится, 2) при - расходится. Доказательство. Доказывается с помощью схемы Куммера. Пусть. Рассматривается ряд Сопоставим его с рядом, который расходится...
Устойчивость по Ляпунову
Пусть --- решение системы уравнений, определенное на некотором интервале, и --- решение той же системы уравнений, определенное на некотором интервале. Будем говорить, что решение является продолжением решения, если...
